Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат со стороной \( a \) см. Диагональ боковой грани образует угол \( \alpha \) с плоскостью основания. Найти объем параллелепипеда.

Для того чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, необходимо использовать формулу для объема $V = a \cdot b \cdot h$, где:

• $a$ — длина стороны квадрата основания,

• $b$ — длина одной из сторон боковой грани (в данном случае это длина стороны квадрата основания, которая равна $a$),

• $h$ — высота параллелепипеда.

Чтобы найти высоту $h$, нам нужно использовать информацию о том, что диагональ боковой грани образует угол $\alpha$ с плоскостью основания.

1. Диагональ боковой грани:

   Диагональ боковой грани параллелепипеда образует прямоугольный треугольник с высотой $h$ и стороной основания $a$. Для этой грани диагональ можно выразить по теореме Пифагора:

   $$d = \sqrt{a^2 + h^2}$$

   где $d$ — диагональ боковой грани.

2. Синус угла $\alpha$:

   Угол $\alpha$ — это угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания. С учетом того, что диагональ и высота образуют прямоугольный треугольник, можно использовать тригонометрическое соотношение:

   $$\sin \alpha = \frac{h}{d}$$

   Подставим выражение для диагонали $d$ из предыдущего шага:

   $$\sin \alpha = \frac{h}{\sqrt{a^2 + h^2}}$$

3. Решение для $h$:

   Из этого уравнения можно выразить $h$:

   $$\sin \alpha = \frac{h}{\sqrt{a^2 + h^2}} \quad \Rightarrow \quad \sin^2 \alpha = \frac{h^2}{a^2 + h^2}$$

   Умножим обе части на $a^2 + h^2$:

   $$\sin^2 \alpha \cdot (a^2 + h^2) = h^2$$

   Раскроем скобки:

   $$\sin^2 \alpha \cdot a^2 + \sin^2 \alpha \cdot h^2 = h^2$$

   Переносим все слагаемые с $h^2$ в одну сторону:

   $$\sin^2 \alpha \cdot a^2 = h^2 \cdot (1 - \sin^2 \alpha)$$

   Поскольку $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$, получаем:

   $$h^2 = \frac{\sin^2 \alpha \cdot a^2}{\cos^2 \alpha}$$

   То есть:

   $$h = \frac{a \sin \alpha}{\cos \alpha} = a \tan \alpha$$

4. Вычисление объема:

   Теперь, зная, что $h = a \tan \alpha$, можем найти объем параллелепипеда:

   $$V = a \cdot a \cdot h = a^2 \cdot (a \tan \alpha) = a^3 \tan \alpha$$

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен: