В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостью A1BC и прямой BC1, если AA1 = 8, AB = 6, BC = 15.

Для нахождения угла между плоскостью $A_1BC$ и прямой $BC_1$ в прямоугольном параллелепипеде, рассмотрим следующую геометрическую ситуацию.

Дано:

• $AA_1 = 8$ — высота параллелепипеда.

• $AB = 6$ — длина ребра параллелепипеда.

• $BC = 15$ — длина ребра параллелепипеда.

Прежде чем найти угол, нужно ввести несколько понятий и обозначений.

Шаг 1: Координаты вершин

Для простоты возьмем начало координат в вершине $A$. Параллелепипед лежит вдоль координатных осей. Пусть:

• $A = (0, 0, 0)$,

• $B = (6, 0, 0)$,

• $C = (6, 15, 0)$,

• $D = (0, 15, 0)$,

• $A_1 = (0, 0, 8)$,

• $B_1 = (6, 0, 8)$,

• $C_1 = (6, 15, 8)$,

• $D_1 = (0, 15, 8)$.

Шаг 2: Векторы плоскости и прямой

Плоскость $A_1BC$ проходит через точки $A_1$, $B$ и $C$. Чтобы найти угол между плоскостью и прямой $BC_1$, нам нужно:

1. Найти нормаль к плоскости: Для этого определим два вектора, лежащих в плоскости $A_1BC$:

   • Вектор $\overrightarrow{A_1B} = (6, 0, 8)$,

   • Вектор $\overrightarrow{A_1C} = (6, 15, 8)$.

   Нормаль к плоскости $\vec{n}$ можно найти как векторное произведение $\overrightarrow{A_1B}$ и $\overrightarrow{A_1C}$.

   $$\vec{n} = \overrightarrow{A_1B} \times \overrightarrow{A_1C}$$ $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 0 & 8 \\ 6 & 15 & 8 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 \cdot 8 - 15 \cdot 8) - \hat{j}(6 \cdot 8 - 6 \cdot 8) + \hat{k}(6 \cdot 15 - 6 \cdot 0)$$ $$\vec{n} = \hat{i}(-120) + \hat{j}(0) + \hat{k}(90)$$ $$\vec{n} = (-120, 0, 90)$$

2. Вектор прямой $BC_1$: Прямая $BC_1$