Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC (угол ABC = 90°). Точка O — точка пересечения прямых B1C и BC1. Вычислите меру угла наклона прямой AO к плоскости грани BB1C1C, если известно, что AB = 1/2 BC1.

Для того чтобы вычислить угол наклона прямой $AO$ к плоскости грани $BB_1C_1C$, нужно рассмотреть несколько геометрических аспектов треугольной призмы и понять, как работает проекция прямой на плоскость.

Шаг 1: Понимание структуры

Прямая треугольная призма имеет основание — прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle ABC = 90^\circ$. Вершины $A_1$, $B_1$, и $C_1$ — это соответствующие вершины, поднятые вертикально на одинаковую высоту (параллельны оси Z), создавая боковые ребра призмы. У нас есть точка $O$, которая является точкой пересечения прямых $B_1C$ и $BC_1$. Нам нужно найти угол наклона прямой $AO$ к плоскости грани $BB_1C_1C$.

Шаг 2: Координаты точек

Для удобства работы будем работать с системой координат. Предположим, что:

• $A(0, 0, 0)$,

• $B(1, 0, 0)$,

• $C(0, 1, 0)$,

• $A_1(0, 0, h)$,

• $B_1(1, 0, h)$,

• $C_1(0, 1, h)$, где $h$ — высота призмы, которая пока неизвестна.

Также известно, что $AB = \frac{1}{2} BC_1$, то есть $AB = \frac{1}{2} \cdot h$, следовательно $h = 2 \cdot AB = 1$.

Шаг 3: Поиск координат точки O

Точка $O$ — это точка пересечения прямых $B_1C$ и $BC_1$. Чтобы найти координаты точки $O$, нужно записать уравнения этих прямых и решить их систему.

• Прямая $B_1C$ проходит через точки $B_1(1, 0, 1)$ и $C(0, 1, 0)$. Ее параметрическое уравнение будет:

  $$\mathbf{r}(t) = (1, 0, 1) + t \cdot (-1, 1, -1).$$

  То есть:

  $$x = 1 - t, \quad y = t, \quad z = 1 - t.$$

• Прямая $BC_1$ проходит через точки $B(1, 0, 0)$ и $C_1(0, 1, 1)$. Ее параметрическое уравнение будет:

  $$\mathbf{r}(s) = (1, 0, 0) + s \cdot (-1, 1, 1).$$

  То есть:

  $$x = 1 - s, \quad y = s, \quad z = s.$$

Теперь приравняем уравнения этих прямых по координатам. Для $x$-координат:

Подставим $t = s$ в уравнение для $y$ и $z$:

Следовательно, точка $O$ имеет координаты $O(s, s, s)$, где $s$ — это параметр, который определяет местоположение точки на пересечении прямых. Для того чтобы найти точное значение $s$, достаточно заметить, что $O$ лежит на обоих прямых, и поэтому в конкретной задаче его координаты можно подставить в другие уравнения.

Шаг 4: Нахождение угла наклона

Теперь, чтобы найти угол наклона прямой $AO$ к плоскости грани $BB_1C_1C$, нужно воспользоваться тем, что угол наклона прямой к плоскости равен углу между нормалью к плоскости и направлением прямой. Нормаль к плоскости $BB_1C_1C$ можно найти, используя векторное произведение двух векторов, образованных точками $B$, $B_1$, $C_1$