В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник ABC, в котором BC = 12 см, а AB = AC = 10 см. Найдите площадь сечения ASM, если оно перпендикулярно плоскости основания, а все боковые ребра пирамиды равны 10 см.

Для решения задачи найдем площадь сечения пирамиды ASM, которое перпендикулярно плоскости основания.

1. Построение основания пирамиды:
   У нас есть равнобедренный треугольник ABC, где BC = 12 см, а AB = AC = 10 см. Рассмотрим его высоту.

   Для этого воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника. Проводим высоту из вершины A, она будет перпендикулярна основанию BC и разделит его пополам. Таким образом, отрезок, на который высота делит основание BC, равен 6 см (половина от 12 см).

   Обозначим точку пересечения высоты с основанием BC как M. Теперь можем найти высоту треугольника, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике AMB:

   $$AB^2 = AM^2 + BM^2$$ $$10^2 = AM^2 + 6^2$$ $$100 = AM^2 + 36$$ $$AM^2 = 64$$ $$AM = 8 \text{ см}.$$

   Таким образом, высота треугольника ABC равна 8 см.

2. Рассмотрение пирамиды:
   Все боковые ребра пирамиды равны 10 см. Сечение ASM перпендикулярно плоскости основания, то есть линия ASM проходит через вершину S и точку M на основании.

   Так как сечение перпендикулярно основанию и проходит через вершину S, то оно будет прямым треугольником с вершинами в точках A, S и M. Сечение ASM будет прямоугольным треугольником, где одна из катетов — это высота пирамиды от вершины S до основания (что равно 8 см), а другой катет — это отрезок AM, равный 6 см.

3. Нахождение площади сечения:
   Площадь сечения прямоугольного треугольника можно найти по формуле для площади треугольника:

   $$P = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2$$

   Подставляем значения:

   $$P = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \text{ см}^2.$$

Таким образом, площадь сечения ASM равна 24 см².