В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если боковая сторона равна 6 сантиметров, а один из углов трапеции равен 60 градусов.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD\parallel BC$, боковыми сторонами $AB=CD=6$, угол при основании $\angle A=\angle D=60^\circ$.

Возьмём координаты: $A(0,0)$, основание $AD$ — по оси $x$, $D(a,0)$. Тогда

Высота трапеции $h=3\sqrt3$. Длины оснований: $AD=a$, $BC= (a-3)-3 = a-6$.

Условие «диагональ перпендикулярна боковой стороне» выполним, например, для $\overline{BD}\perp \overline{AB}$:

Перпендикулярность даёт скалярное произведение ноль:

Тогда основания $AD=12$, $BC=6$, высота $h=3\sqrt3$.

Площадь трапеции:

Ответ: $27\sqrt3\ \text{см}^2$.