В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB = 3, BC = 9 и AA₁ = 4. Найди градусную меру двугранного угла BB₁A₁D₁.

Для нахождения двугранного угла $\angle BB₁A₁D₁$ в прямоугольном параллелепипеде, нужно понять его геометрическое расположение и использовать векторы.

1. Определим координаты вершин:
   Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ имеет следующие рёбра:

   • $AB = 3$,

   • $BC = 9$,

   • $AA₁ = 4$.

   Мы можем расположить параллелепипед в координатной системе следующим образом:

   • $A(0, 0, 0)$,

   • $B(3, 0, 0)$,

   • $C(3, 9, 0)$,

   • $D(0, 9, 0)$,

   • $A₁(0, 0, 4)$,

   • $B₁(3, 0, 4)$,

   • $C₁(3, 9, 4)$,

   • $D₁(0, 9, 4)$.

2. Векторы, определяющие двугранный угол:
   Двугранный угол $\angle BB₁A₁D₁$ образуют две плоскости, одна из которых проходит через точки $B$, $B₁$ и $A₁$, а другая — через точки $A₁$, $D₁$ и $B$.

   Для нахождения угла между этими плоскостями используем нормали к ним:

   • Вектор, определяющий плоскость, содержащую точки $B$, $B₁$ и $A₁$, можно найти как векторное произведение двух векторов, направленных вдоль этих точек. Например, векторы $\overrightarrow{BB₁}$ и $\overrightarrow{BA₁}$:

     $$\overrightarrow{BB₁} = B₁ - B = (3, 0, 4) - (3, 0, 0) = (0, 0, 4),$$ $$\overrightarrow{BA₁} = A₁ - B = (0, 0, 4) - (3, 0, 0) = (-3, 0, 4).$$

     Векторное произведение этих векторов:

     $$\overrightarrow{BB₁} \times \overrightarrow{BA₁} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 4 \\ -3 & 0 & 4 \end{vmatrix} = (0, 12, 0).$$

     Нормаль к этой плоскости: $\mathbf{n₁} = (0, 12, 0)$.

   • Теперь найдем нормаль ко второй плоскости, содержащей точки $A₁$, $D₁$ и $B$. Используем векторы $\overrightarrow{A₁D₁}$ и $\overrightarrow{BA₁}$:

     $$\overrightarrow{A_1{D}_1}=D_1-A_1=(0,9,4)-(0,0,4)=(0,9,0$$