В прямоугольном треугольнике ABC (угол C=90°) проведена высота CD так, что длина отрезка BD на 4 см больше длины отрезка CD, AD=9. Найдите стороны треугольника ABC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом в вершине $C$, где проведена высота $CD$, которая делит гипотенузу $AB$ на два отрезка: $AD$ и $BD$. Из условия задачи известно, что $AD = 9$, а $BD = CD + 4$.

Обозначим:

• $CD = x$,

• $BD = x + 4$,

• $AD = 9$.

Теперь используем свойство прямоугольных треугольников, в которых высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два меньших прямоугольных треугольника. Это свойство дает следующее соотношение:

Подставим известные значения:

Раскроем скобки:

Переносим все на одну сторону:

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

В нашем случае $a = 1$, $b = -9$, $c = -36$:

Теперь находим корни уравнения:

Таким образом, два корня:

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, оставляем $x = 12$.

Теперь, зная $CD = 12$, можем найти $BD$:

Гипотенуза $AB$ равна сумме $AD$ и $BD$:

Теперь найдем стороны треугольника $ABC$. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

Обозначим $AC = a$ и $BC = b$. Из теоремы Пифагора:

Кроме того, так как $AD = 9$ и $CD = 12$, используем соотношение для прямоугольных треугольников $AC^2 = AD \cdot AB$ и $BC^2 = BD \cdot AB$:

Теперь получаем значения для $AC$ и $BC$:

Таким образом, стороны треугольника $ABC$ равны:

• $AC = 15$,