В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны AB=2, AD=AA1=1. Найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1.

Для решения задачи будем использовать координатный метод.

1. Расставим координаты для вершин параллелепипеда. Пусть:

   • $A = (0, 0, 0)$,

   • $B = (2, 0, 0)$,

   • $D = (0, 1, 0)$,

   • $A_1 = (0, 0, 1)$,

   • $B_1 = (2, 0, 1)$,

   • $C_1 = (2, 1, 1)$,

   • $D_1 = (0, 1, 1)$,

   • $C = (2, 1, 0)$.

2. Теперь найдем вектор, который соединяет точки $A$ и $B_1$. Это вектор $\overrightarrow{AB_1}$:

   $$\overrightarrow{AB_1} = B_1 - A = (2, 0, 1) - (0, 0, 0) = (2, 0, 1).$$

3. Для нахождения угла между прямой и плоскостью, нужно сначала найти нормальный вектор к плоскости $ABC_1$. Для этого воспользуемся двумя векторами, лежащими в плоскости $ABC_1$, например, $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC_1}$:

   • Вектор $\overrightarrow{AB} = B - A = (2, 0, 0)$,

   • Вектор $\overrightarrow{AC_1} = C_1 - A = (2, 1, 1)$.

4. Находим нормаль к плоскости $ABC_1$, вычислив векторное произведение $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC_1}$:

   $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \hat{j}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) + \hat{k}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 2).$$

   Это даст нам:

   $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC_1} = \hat{i}(0) - \hat{j}(2) + \hat{k}(2) = (0, -2, 2).$$