В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 30°. Найти объём пирамиды, если её высота равна 8 см.

Так как пирамида правильная, её вершина находится над центром основания (центром описанной окружности равностороннего треугольника). Боковое ребро $SA$ образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Высота пирамиды $SO = 8$ см.

1. Из геометрии угла между прямой и плоскостью:

2. Проекция ребра $SA$ на основание — это отрезок $OA$ от центра $O$ основания к вершине треугольника; его длина

Но $OA$ — это радиус описанной окружности равностороннего треугольника, то есть $R=\frac{a}{\sqrt3}$. Следовательно,

3. Площадь основания (равносторонний треугольник):

4. Объём пирамиды:

Ответ: $384\sqrt3\ \text{см}^3$.