В прямоугольном треугольнике ABC угол А=90⁰, АВ=20 см, высота AD=12 см. Найдите AC и cos C.

Для решения задачи используем свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора.

1. Найдем сторону AC:

В прямоугольном треугольнике ABC угол A равен 90°, и у нас есть гипотенуза AB = 20 см и высота AD = 12 см. Чтобы найти сторону AC, воспользуемся свойством прямоугольного треугольника, а именно теоремой о площади.

Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:

• через основание и высоту:

  $$S = \frac{1}{2} \times AB \times AD = \frac{1}{2} \times 20 \times 12 = 120 \, \text{см}^2$$

• через катеты AC и BC:

  $$S = \frac{1}{2} \times AC \times BC$$

Приравняв эти два выражения для площади, получаем:

Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника ABC:

У нас есть система уравнений:

1. $AC \times BC = 240$

2. $AC^2 + BC^2 = 400$

Предположим, что $AC = x$ и $BC = y$. Тогда:

1. $x \times y = 240$

2. $x^2 + y^2 = 400$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

Подставим это во второе уравнение:

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от дроби:

Теперь это квадратное уравнение относительно $x^2$. Пусть $z = x^2$, тогда получим:

Решим это уравнение с помощью формулы для квадратных уравнений:

Так как под корнем отрицательное число, в реальности таких значений быть не может.