В прямоугольных треугольниках ABC и A1B1C1 углы B и B1 прямые, AB=3, BC=4, A1B1=6, B1C1=8. Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1.

Для того чтобы доказать, что треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1, нужно показать, что существует такая взаимосвязь между сторонами этих треугольников, которая удовлетворяет признакам подобия треугольников.

1. Углы прямые:
   В обоих треугольниках B и B1 — прямые углы. Это уже дает нам первые признаки, что оба треугольника — прямоугольные.

2. Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенуз:
   Так как оба треугольника прямоугольные, можем применить теорему Пифагора для нахождения их гипотенуз.

   В треугольнике ABC:

   • AB = 3

   • BC = 4
     Для нахождения гипотенузы AC применим теорему Пифагора:

   $$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25,$$

   откуда

   $$AC = \sqrt{25} = 5.$$

   В треугольнике A1B1C1:

   • A1B1 = 6

   • B1C1 = 8
     Для нахождения гипотенузы A1C1 также применим теорему Пифагора:

   $$A1C1^2 = A1B1^2 + B1C1^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100,$$

   откуда

   $$A1C1 = \sqrt{100} = 10.$$

3. Проверка пропорциональности сторон:
   Теперь, чтобы доказать подобие, нужно показать, что стороны соответствующих сторон двух треугольников пропорциональны. Мы уже знаем длины их сторон:

   В треугольнике ABC:

   • AB = 3,

   • BC = 4,

   • AC = 5.

   В треугольнике A1B1C1:

   • A1B1 = 6,

   • B1C1 = 8,

   • A1C1 = 10.

   Теперь проверим пропорции между соответствующими сторонами:

   $$\frac{AB}{A1B1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2},$$ $$\frac{BC}{B1C1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2},$$ $$\frac{AC}{A1C1} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}.$$

   Все три пропорции равны между собой и составляют одну и ту же величину, равную $\frac{1}{2}$.

4. Заключение:
   Поскольку углы прямые, и стороны соответствующих сторон двух треугольников пропорциональны, мы можем заключить, что треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1 по признаку подобия прямоугольных треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).