Образующая конуса равна 8, а угол при вершине осевого сечения — 60 градусов. Найти объем конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными образующей $l=8$, и углом при вершине $\varphi=60^\circ$.

1. Половина основания этого треугольника — это радиус основания конуса $R$. В равнобедренном треугольнике при известной боковой стороне $l$ и вершином угле $\varphi$:

2. Высота конуса — это высота того же треугольника:

3. Объём конуса:

Ответ: $\displaystyle V=\frac{64\pi\sqrt3}{3}$.