В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3 см, а высота — 1 см. Вычислите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

Для решения задачи о вычислении угла между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды, нужно использовать несколько геометрических соображений и формул.

1. Определим элементы пирамиды:

   • Основание пирамиды является правильным треугольником со стороной 3 см.

   • Высота пирамиды равна 1 см (расстояние от вершины пирамиды до центра основания).

2. Найдем длину бокового ребра:
   Для этого воспользуемся тем, что боковое ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной треугольника основания.

   Центр основания правильного треугольника можно найти, проведя медиану. Медиана правильного треугольника делит его пополам и является высотой, которая равна:

   $$h_{\text{медианы}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}.$$

   Таким образом, расстояние от вершины пирамиды до центра основания по вертикали (высота пирамиды) равно 1 см. Параллельно высоте основания мы получаем прямоугольный треугольник с катетами $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ и 1 см, где гипотенуза будет являться боковым ребром.

   По теореме Пифагора вычисляем длину бокового ребра $l$:

   $$l = \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{27}{4} + 1} = \sqrt{\frac{31}{4}} = \frac{\sqrt{31}}{2}.$$

3. Найдем угол между боковым ребром и плоскостью основания:
   Чтобы найти этот угол, нужно использовать косинус угла между вектором, направленным вдоль бокового ребра, и вектором, лежащим в плоскости основания.

   Для этого рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды (1 см), медианой основания $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ и боковым ребром. Мы знаем длину медианы и высоты. Теперь угол между боковым ребром и плоскостью основания будет равен углу между боковым ребром и прямым перпендикуляром к основанию (то есть высотой пирамиды).

   Используем определение косинуса угла:

   $$\cos \theta = \frac{\text{длина высоты}}{\text{длина бокового ребра}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{31}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{31}}.$$

   Таким образом, угол $\theta$ можно найти как:

   $$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{31}}\right).$$

Этот угол и будет искомым углом между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.