В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см, а высота боковой грани — 15 см. Найдите боковое ребро.

Для нахождения бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды воспользуемся теоремой Пифагора.

1. Из условия задачи известно, что высота пирамиды $h = 12$ см, а высота боковой грани $l = 15$ см.

2. Площадь боковой грани представляет собой треугольник, у которого основание — это сторона основания пирамиды, а высота — это высота боковой грани. Так как основание пирамиды — квадрат, каждая его сторона равна $a$, и в основании боковой грани будет лежать половина стороны квадрата, то есть $\frac{a}{2}$.

3. Мы можем рассматривать прямоугольный треугольник, в котором:

   • одна катет — это половина стороны основания пирамиды $\frac{a}{2}$,

   • второй катет — это высота пирамиды $h = 12$ см,

   • гипотенуза — это боковое ребро, которое нам нужно найти.

4. Применим теорему Пифагора:

   $$\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = l^2.$$

5. Подставляем известные значения:

   $$\left(\frac{a}{2}\right)^2 + 12^2 = 15^2.$$ $$\left(\frac{a}{2}\right)^2 + 144 = 225.$$ $$\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 225 - 144 = 81.$$ $$\frac{a}{2} = \sqrt{81} = 9.$$ $$a = 2 \times 9 = 18.$$

6. Теперь, зная сторону основания $a = 18$ см, мы можем найти боковое ребро с помощью теоремы Пифагора в другом треугольнике, где гипотенуза будет равна боковому ребру пирамиды, а катетами будут половина стороны основания и высота боковой грани.

7. Применим теорему Пифагора для нахождения бокового ребра:

   $$\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = R^2,$$

   где $R$ — это боковое ребро. Подставляем:

   $$\left(9\right)^2 + 12^2 = R^2.$$ $$81 + 144 = R^2.$$ $$225 = R^2.$$ $$R = \sqrt{225} = 15.$$

Таким образом, боковое ребро пирамиды равно 15 см.