В правильной треугольной призме все ребра равны. Площадь боковой поверхности равна 75 см². Найти длину ребра.

Для решения задачи используем формулы для площади боковой поверхности правильной треугольной призмы.

1. Описание правильной треугольной призмы:
   В правильной треугольной призме все рёбра одинаковы, а основание представляет собой равносторонний треугольник.

2. Площадь боковой поверхности:
   Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна сумме площадей всех её боковых граней. Так как все боковые грани прямоугольные, то каждая из них является прямоугольником. Все прямоугольники имеют одинаковую ширину, равную длине рёбер призмы (обозначим её $a$), и высоту, равную высоте треугольного основания.

   Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ можно выразить как:

   $$S_{бок} = 3 \cdot a \cdot h$$

   где:

   • $a$ — длина ребра призмы (одновременно сторона основания),

   • $h$ — высота треугольного основания.

3. Выражение высоты треугольного основания:
   Площадь равностороннего треугольника с длиной стороны $a$ можно найти по формуле:

   $$S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2$$

   Для нахождения высоты треугольника, вспомним, что высота равностороннего треугольника $h_{треуг}$ связана с его стороной $a$ по формуле:

   $$h_{треуг} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a$$

   Это и есть высота основания призмы $h$.

4. Подстановка в формулу для площади боковой поверхности:
   Подставим $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a$ в формулу для площади боковой поверхности:

   $$S_{бок} = 3 \cdot a \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \right)$$

   Упростим выражение:

   $$S_{бок} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2$$

5. Решение для $a$:
   Из условия задачи известно, что площадь боковой поверхности равна 75 см². Подставим это значение:

   $$\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2 = 75$$

   Умножим обе части на 2:

   $$3\sqrt{3} \cdot a^2 = 150$$

   Разделим обе части на $3\sqrt{3}$:

   $$a^2 = \frac{150}{3\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}}$$

   Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

   $$a^2 = \frac{50\sqrt{3}}{3}$$

   Теперь найдём $a$:

   $$a = \sqrt{\frac{50\sqrt{3}}{3}} \approx 7.94 \, \text{см}$$

Таким образом, длина ребра правильной треугольной призмы составляет примерно 7.94 см.