В окружности через середину О хорды АС проведена хорда ВД так, что дуги АВ и СД равны. Доказать, что О — середина хорды ВД.

Для того чтобы доказать, что точка О является серединой хорды ВД, давайте шаг за шагом рассмотрим геометрическую ситуацию.

1. Условие задачи: У нас есть окружность, в которой проведены хорды АС и ВД. Точка О — центр окружности, и хорда АС проходит через точку О. Из условия задачи известно, что дуги АВ и СД равны.

2. Равенство дуг: Дуги АВ и СД равны, что означает, что центральные углы, которые им соответствуют, тоже равны. Пусть угол ∠AOB будет центральным углом, который опирается на дугу АВ, а угол ∠COD будет центральным углом, который опирается на дугу СД. Тогда из равенства дуг следует, что углы ∠AOB = ∠COD.

3. Треугольники OAB и ODC: Рассмотрим два треугольника: OAB и ODC. В этих треугольниках:

   • Стороны OA и OB равны, так как радиусы окружности.

   • Стороны OC и OD также равны, так как это также радиусы окружности.

   • Углы ∠AOB и ∠COD равны, так как мы доказали, что дуги АВ и СД равны.

   Таким образом, треугольники OAB и ODC равны по признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Мидпункт хорды ВД: Из того, что треугольники равны, следует, что отрезки OB и OD равны, а также что точка O лежит на перпендикуляре, который проходит через середину хорды ВД. Поскольку точка O — центр окружности, а хорда ВД пересекает ее, точка O будет именно серединой хорды ВД.

Таким образом, мы доказали, что точка О является серединой хорды ВД.