В окружности провели диаметр AB и хорды AC и CD так, что AC=12 см, ∠BAC=30°, AB⊥CD. Найдите длину хорды CD.

Для решения задачи воспользуемся свойствами окружности и теоремой о перпендикуляре, проведённом из центра окружности к хорде.

1. Основные данные задачи:

   • Диаметр $AB$ окружности.

   • Хорда $AC = 12$ см.

   • Угол $\angle BAC = 30^\circ$.

   • $AB \perp CD$ (диаметр перпендикулярен хорде $CD$).

2. Используем свойства окружности:

   • Диаметр $AB$ делит окружность пополам и является её наибольшей хордой. Поскольку $AB \perp CD$, то линия $AB$ является также перпендикуляром к хорде $CD$, и пересекает её в её середине. Таким образом, точка пересечения $AB$ с хордами $CD$ делит хорду $CD$ пополам.

3. Рассмотрим треугольник $ABC$:
   У нас есть угол $\angle BAC = 30^\circ$, и отрезок $AC = 12$ см. Мы можем использовать синус угла, чтобы найти радиус окружности.

   В треугольнике $ABC$ угол $\angle BAC = 30^\circ$, а $AB$ — это диаметр окружности, следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$ (по теореме о прямом угле, заключённом в полуокружности).

4. Рассчитаем радиус окружности:
   В прямоугольном треугольнике $ABC$, используя синус угла $\angle BAC$, можно найти радиус. Синус угла $30^\circ$ равен $\frac{1}{2}$, следовательно, радиус $R$ окружности равен половине длины хорды $AC$:

   $$R = \frac{AC}{2 \cdot \sin(30^\circ)} = \frac{12}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 12 \text{ см}.$$

5. Используем перпендикулярность и теорему о хорде, перпендикулярной диаметру:
   Теперь, зная радиус окружности $R = 12$ см и что диаметр перпендикулярен хорде, можно рассчитать длину хорды $CD$. Поскольку диаметр $AB$ делит хорду $CD$ пополам, длина хорды $CD$ будет равна:

   $$CD = 2 \cdot \sqrt{R^2 - \left(\frac{AC}{2}\right)^2} = 2 \cdot \sqrt{12^2 - \left(\frac{12}{2}\right)^2} = 2 \cdot \sqrt{144 - 36} = 2 \cdot \sqrt{108} = 2 \cdot 10.39 \approx 20.78 \text{ см}.$$

Итак, длина хорды $CD$ равна примерно 20.78 см.