Докажите, что если прямые, на которых лежат диагонали четырёхугольника, являются его осями симметрии, то четырёхугольник является ромбом.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. По условию прямые, на которых лежат его диагонали, являются осями симметрии всего четырёхугольника.

1. Ось симметрии по прямой $AC$. Точки $A$ и $C$ лежат на оси и остаются на месте, а вершины $B$ и $D$ взаимно отображаются. Отсюда

2. Ось симметрии по прямой $BD$. Теперь $B$ и $D$ лежат на оси (не двигаются), а $A$ и $C$ взаимно отображаются. Значит

Объединим равенства из (1) и (2):

то есть все четыре стороны равны — четырёхугольник равносторонний.

3. Докажем, что он параллелограмм. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. У них

следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ по трём сторонам. Отсюда равны соответствующие углы: $\angle ABC=\angle CDA$ и $\angle ACB=\angle CAD$. Равенство пар внутренних накрестлежащих углов даёт параллельность противоположных сторон:

Значит, $ABCD$ — параллелограмм.

4. Параллелограмм, у которого все стороны равны, — это ромб.

Следовательно, если прямые, содержащие диагонали четырёхугольника, являются его осями симметрии, то данный четырёхугольник — ромб. ✔️