Докажите, что если провести биссектрисы в параллелограмме из противолежащих углов, то эти биссектрисы будут параллельны.

Пусть $ABCD$ — параллелограмм. Проведём биссектрисы углов $A$ и $C$; обозначим их соответственно $l_A$ и $l_C$.

1. В параллелограмме противоположные углы равны: $\angle A=\angle C$. Тогда их половины тоже равны:

2. Рассмотрим углы, под которыми эти биссектрисы наклонены к соответствующим сторонам:

• угол между $l_A$ и стороной $AB$ равен $\frac{\angle A}{2}$;

• угол между $l_C$ и стороной $CD$ равен $\frac{\angle C}{2}$.

По пункту (1) эти углы равны.

3. Но стороны $AB$ и $CD$ параллельны. Значит, если две прямые образуют с двумя параллельными прямыми равные соответствующие углы, то сами эти прямые параллельны. Отсюда $l_A \parallel l_C$.

Тем самым биссектрисы, проведённые из противоположных углов параллелограмма, параллельны.