Два равнобедренных треугольника имеют общее основание и не лежат в одной плоскости. Основанием перпендикуляра, проведенного из вершины первого треугольника к плоскости второго, является вершина второго треугольника. Боковая сторона и высота первого треугольника равны 10 и 8 см соответственно, а угол между плоскостями треугольников равен 60°. Найдите площадь второго треугольника.

Пусть общая сторона — $AB$ (основание обоих равнобедренных треугольников), вершины — $C$ (первого) и $D$ (второго). Дано для первого: боковая сторона $AC=BC=10$, высота к основанию $CH=8$. Тогда половина основания

а площадь первого треугольника $S_1=\tfrac12\cdot12\cdot8=48$ (это нам далее не нужно, просто проверка).

Условие «основание перпендикуляра из $C$ к плоскости второго — вершина $D$» означает, что $D$ — ортогональная проекция $C$ на плоскость $(ABD)$, а значит $CD\perp(ABD)$. Возьмём точку $H$ — середину $AB$. Тогда в каждом треугольнике высота к $AB$ проходит через $H$. Обозначим высоту второго треугольника $DH=h$. Векторы $CH$ и $DH$ лежат в своих плоскостях и перпендикулярны $AB$, поэтому угол между плоскостями равен углу между $CH$ и $DH$, то есть $60^\circ$.

Перейдём к длинам. Расстояние от $C$ до прямой $AB$ равно высоте первого треугольника:

Так как $D$ — проекция $C$ на плоскость второго треугольника, то в прямоугольном треугольнике $CDH$ имеем

Угол между $CH$ и $DH$ равен $60^\circ$, поэтому

Тогда площадь второго треугольника

Ответ: $24\ \text{см}^2$.