А(-3;-3);+ В(-4;4); С(3;5); D(4;-2). Доказать, что АВСD- прямоугольник?

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нужно проверить, что у него есть хотя бы один угол, равный 90°. Для этого достаточно доказать, что два соседних отрезка имеют перпендикулярные направления (то есть их скалярное произведение равно нулю). Пара перпендикулярных отрезков будет свидетельствовать о том, что угол между ними прямой.

1. Найдем векторы, соответствующие сторонам четырехугольника:

   • Вектор AB = B - A = (-4 - (-3); 4 - (-3)) = (-1; 7)

   • Вектор BC = C - B = (3 - (-4); 5 - 4) = (7; 1)

   • Вектор CD = D - C = (4 - 3; -2 - 5) = (1; -7)

   • Вектор DA = A - D = (-3 - 4; -3 - (-2)) = (-7; -1)

2. Проверим скалярные произведения соседних векторов:

   • Скалярное произведение векторов AB и BC:

     $$AB \cdot BC = (-1) \times 7 + 7 \times 1 = -7 + 7 = 0$$

     Так как скалярное произведение равно нулю, векторы AB и BC перпендикулярны.

3. Проверим скалярное произведение для других соседних векторов:

   • Скалярное произведение векторов BC и CD:

     $$BC \cdot CD = 7 \times 1 + 1 \times (-7) = 7 - 7 = 0$$

     Векторы BC и CD также перпендикулярны.

4. Для окончательного подтверждения проверим, что прямой угол есть и между другими сторонами:

   • Скалярное произведение векторов CD и DA:

     $$CD \cdot DA = 1 \times (-7) + (-7) \times (-1) = -7 + 7 = 0$$

     Векторы CD и DA перпендикулярны.

Таким образом, все четыре угла в четырехугольнике ABCD прямые, и он действительно является прямоугольником.