Два угла треугольника равны 45° и 120°, а сумма противолежащих им сторон равна \(6(\sqrt{6} + 2)\) см. Найдите эти стороны.

Задача предполагает использование теоремы о синусах для нахождения сторон треугольника, исходя из углов и их противолежащих сторон.

Дано:

• Углы треугольника: $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 120^\circ$.

• Сумма сторон, противолежащих этим углам, равна $6(\sqrt{6} + 2)$ см.

Решение:

1. Определим третий угол:
   Сумма углов в треугольнике всегда равна $180^\circ$. Таким образом, третий угол $\angle C$ будет:

   $$\angle C = 180^\circ - 45^\circ - 120^\circ = 15^\circ.$$

2. Обозначим стороны:
   Пусть $a$, $b$ и $c$ — это стороны треугольника, противолежащие углам $A$, $B$ и $C$ соответственно. То есть:

   • $a$ противолежит углу $45^\circ$,

   • $b$ противолежит углу $120^\circ$,

   • $c$ противолежит углу $15^\circ$.

3. Используем теорему о синусах:
   Согласно теореме о синусах:

   $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,$$

   где $R$ — радиус описанной окружности треугольника.

   Подставим известные значения углов:

   $$\frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 120^\circ} = \frac{c}{\sin 15^\circ}.$$

   Значения синусов для этих углов:

   • $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$,

   • $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,

   • $\sin 15^\circ \approx 0.2588$.

   Таким образом, можно выразить стороны через $2R$:

   $$a = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R \sqrt{2},$$ $$b = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R \sqrt{3},$$ $$c = 2R \cdot 0.2588 \approx 0.5176R.$$

4. Сумма сторон:
   Согласно условию задачи, сумма сторон $a$ и $b$ равна $6(\sqrt{6} + 2)$ см:

   $$a + b = 6(\sqrt{6} + 2).$$

   Подставим выражения для $a$ и $b$:

   $$R \sqrt{2} + R \sqrt{3} = 6(\sqrt{6} + 2).$$

   Вынесем $R$ за скобки:

   $$R(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = 6(\sqrt{6} + 2).$$