Площадь равнобедренного треугольника равна 48, а основание равно 12. Найти биссектрису, проведённую к основанию.

Для нахождения длины биссектрисы, проведённой к основанию равнобедренного треугольника, воспользуемся следующими данными:

Площадь треугольника равна 48, основание $b = 12$. Нам нужно найти длину биссектрисы $l$, проведённой к основанию.

1. Вычисление высоты треугольника.
   Площадь треугольника можно выразить через его основание и высоту:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$$

   Подставим известные значения:

   $$48 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h$$ $$48 = 6 \cdot h$$ $$h = \frac{48}{6} = 8$$

   Таким образом, высота треугольника $h = 8$.

2. Нахождение боковой стороны.
   Теперь, зная высоту и основание, можем найти боковую сторону $a$ с помощью теоремы Пифагора. Поскольку треугольник равнобедренный, высота делит основание пополам. Получается два прямоугольных треугольника, в каждом из которых гипотенуза — это боковая сторона треугольника $a$, одна из катетов — это высота $h = 8$, а второй катет — половина основания $\frac{b}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

   Применим теорему Пифагора:

   $$a^2 = h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2$$ $$a^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$$ $$a = \sqrt{100} = 10$$

   Таким образом, боковая сторона треугольника $a = 10$.

3. Нахождение длины биссектрисы.
   Теперь мы можем найти длину биссектрисы, проведённой к основанию. Для этого используется формула для длины биссектрисы в треугольнике:

   $$l = \sqrt{ab \left( 1 - \frac{c^2}{(a + b)^2} \right)}$$

   где $a = b = 10$ и основание $b = 12$. Подставив численные значения:

   $$$$