Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, делит высоту на отрезки 4 и 5, начиная от вершины конуса. Найди объём конуса, если площадь сечения равна 128.

Для нахождения объема конуса, будем использовать информацию о сечении и геометрии конуса.

Шаг 1: Определим радиус сечения.

Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, будет иметь форму круга. Площадь этого круга равна 128. Площадь круга рассчитывается по формуле:

где $r$ — радиус круга. Подставим известную площадь:

Решим относительно $r^2$:

Итак, радиус сечения $r \approx 6.39$.

Шаг 2: Используем пропорции для нахождения радиуса основания.

Так как сечение плоскостью параллельно основанию конуса, радиусы сечения и основания конуса пропорциональны соответствующим отрезкам высоты. Мы знаем, что плоскость делит высоту на два отрезка длиной 4 и 5. То есть, один отрезок $h_1 = 4$ от вершины до сечения, а второй $h_2 = 5$ — от сечения до основания. Полная высота конуса $H = 4 + 5 = 9$.

Теперь можно записать пропорцию для радиусов. Если радиус сечения $r_1 = 6.39$ и соответствует отрезку высоты $h_1 = 4$, то радиус основания $r_2$ будет пропорционален полному отрезку высоты:

Подставим известные значения:

Решим относительно $r_2$:

Шаг 3: Найдем объем конуса.

Теперь, когда мы знаем радиус основания $r_2 \approx 14.42$ и высоту $H = 9$, можем найти объем конуса. Формула для объема конуса:

Подставим значения:

Вычислим:

Итак, объем конуса примерно равен 1962.54 кубических единиц.