Четырёхугольник ABCD имеет вершины точек A(-2;-1), B(-3;2), C(3;2), D(4;-1). Докажите, что ABCD — параллелограмм, и найдите диагональ AC.

Проверю вектора противоположных сторон.

$\overrightarrow{AB}=B-A=(-3-(-2),\,2-(-1))=(-1,\,3).$

$\overrightarrow{DC}=C-D=(3-4,\,2-(-1))=(-1,\,3).$

Получилось $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$: значит, стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны.

Теперь вторую пару:

$\overrightarrow{AD}=D-A=(4-(-2),\,-1-(-1))=(6,\,0).$

$\overrightarrow{BC}=C-B=(3-(-3),\,2-2)=(6,\,0).$

Тоже $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$: стороны $AD$ и $BC$ параллельны и равны.

Раз обе пары противоположных сторон попарно параллельны и равны, $ABCD$ — параллелограмм.

Диагональ $AC$: вектор $\overrightarrow{AC}=C-A=(3-(-2),\,2-(-1))=(5,\,3)$, поэтому

Итог: $ABCD$ — параллелограмм, $AC=\sqrt{34}$.