Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 8 см, боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды необходимо использовать формулу:

где $V$ — объем пирамиды, $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, $h$ — высота пирамиды.

1. Площадь основания:

   Площадь основания $S_{\text{осн}}$ — это площадь квадрата с длиной стороны 8 см. Площадь квадрата можно найти по формуле:

   $$S_{\text{осн}} = a^2$$

   где $a = 8$ см — длина стороны квадрата. Подставляем:

   $$S_{\text{осн}} = 8^2 = 64 \, \text{см}^2$$

2. Нахождение высоты пирамиды:

   Для нахождения высоты пирамиды нам нужно использовать информацию о наклонном угле бокового ребра к плоскости основания. Этот угол составляет 45°.

   Так как боковое ребро наклонено под углом 45°, то можно использовать треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и боковым ребром. Половина стороны основания равна $\frac{8}{2} = 4$ см.

   В этом прямоугольном треугольнике угол наклона между боковым ребром и горизонтальной плоскостью основания равен 45°, а гипотенуза (боковое ребро) имеет длину 8 см. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты.

   В треугольнике:

   $$\sin(45^\circ) = \frac{h}{8}$$

   Известно, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем это значение в уравнение:

   $$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{8}$$

   Теперь решим относительно $h$:

   $$h = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \, \text{см}$$

3. Нахождение объема пирамиды:

   Теперь, когда мы знаем площадь основания и высоту пирамиды, можем найти ее объем. Подставляем все данные в формулу объема:

   $$V = \frac{1}{3} \times 64 \times 4\sqrt{2}$$

   Упростим выражение:

   $$V = \frac{1}{3} \times 256\sqrt{2} = \frac{256\sqrt{2}}{3} \, \text{см}^3$$

Таким образом, объем пирамиды равен $\frac{256\sqrt{2}}{3}$ см³.