Дано: Δ ABC, прямая BE перпендикулярна к AC, CO — биссектриса, OD перпендикулярна BC, OE=18 м. Найти OD.

Ответ: OD = 18 м.

Обоснование. Пусть $E$ — основание перпендикуляра $BE$ на $AC$. Точка $O$ — пересечение высоты $BE$ и биссектрисы $CO$. Тогда:

1. Поскольку $BE \perp AC$, для любой точки $O$ на прямой $BE$ отрезок $OE$ является перпендикулярным расстоянием от $O$ до прямой $AC$. Значит $OE = \rho(O, AC)$.

2. Так как $CO$ — биссектриса угла при вершине $C$, каждая точка на ней равноудалена от сторон угла $\angle ACB$, то есть

3. По условию $OD \perp BC$, следовательно $OD = \rho(O, BC)$.

Объединяя (1)–(3), получаем

Итак, $OD = 18$ метров.