Медианы треугольника пересекаются в точке М. Найти длину медианы, проведённой к стороне ВС, если угол ВАС равен 38°, угол ВМС равен 142°, ВС = 8.

Решение через векторы/центроид.

Обозначим $M$ – центроид. Поместим $M$ в начало координат. Тогда радиус-векторы вершин удовлетворяют

Пусть $x=|\vec{MB}|=|\vec B|$, $y=|\vec{MC}|=|\vec C|$, а $\varphi=\angle BMC=142^\circ$. Обозначим $c=\cos\varphi$.

1. Длина стороны $BC$ выражается через $x,y,c$:

2. Вектор $\vec{MA}=\vec A=-(\vec B+\vec C)$, поэтому

А длина медианы к $BC$ равна

Следовательно

3. Используем угол при вершине $A$: $\angle BAC=38^\circ=\alpha$.
   Так как $\vec{AB}=\vec B-\vec A=2\vec B+\vec C$ и $\vec{AC}=\vec C-\vec A=\vec B+2\vec C$