Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два треугольника. Докажите, что площади этих треугольников равны.

Пусть $ABC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при $C$, а $AB$ — гипотенуза. Обозначим через $M$ середину гипотенузы $AB$; тогда $CM$ — медиана к гипотенузе. Она разбивает исходный треугольник на треугольники $AMC$ и $BMC$.

Рассмотрим их площади при выборе оснований на одной и той же прямой $AB$:

• в $\triangle AMC$ возьмём основание $AM$,

• в $\triangle BMC$ возьмём основание $MB$.

Поскольку $M$ — середина $AB$, имеем $AM = MB$.

Высота, опущенная из точки $C$ на прямую $AB$, одинакова для обоих треугольников, потому что и $AM$, и $MB$ лежат на одной и той же прямой $AB$. Обозначим эту общую высоту через $h$ (это расстояние от точки $C$ до прямой $AB$).

Тогда

Так как $AM=MB$, получаем $S_{\triangle AMC}=S_{\triangle BMC}$.

Следовательно, медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, разбивает его на два треугольника равной площади.