В треугольнике ABC точка M - середина стороны AC, ∠BMA=90°, ∠ABC=40°, ∠BAM=70°. Найдите углы MBC и BCM.

Для решения задачи начнем с того, что в треугольнике ABC точка M — середина стороны AC. Из условия задачи также известно, что ∠BMA = 90° и ∠ABC = 40°, а также ∠BAM = 70°.

1. Известно, что точка M — середина стороны AC, значит, отрезок BM является медианой треугольника ABC. Так как ∠BMA = 90°, то медиана BM перпендикулярна стороне AC, и треугольник ABM является прямоугольным.

2. В треугольнике ABM, угол ∠BAM = 70°, а угол ∠BMA = 90°. Тогда угол ∠AMB можно найти как:

   $$∠AMB = 180° - ∠BAM - ∠BMA = 180° - 70° - 90° = 20°.$$

   Таким образом, ∠AMB = 20°.

3. Теперь перейдем к треугольнику ABC. Угол ∠ABC равен 40°, и угол ∠BAM равен 70°. Мы можем найти угол ∠CBA:

   $$∠CBA = ∠ABC - ∠BAM = 40° - 70° = 30°.$$

   Таким образом, угол ∠CBA = 30°.

4. Теперь, используя сумму углов в треугольнике ABC, можно найти угол ∠ACB:

   $$∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠CBA = 180° - 40° - 30° = 110°.$$

5. Рассмотрим треугольник MBC. Мы уже знаем, что угол ∠BMC = 90° (так как медиана BM перпендикулярна AC), а также угол ∠MBC = ∠CBA = 30°. Тогда угол ∠BCM можно найти как:

   $$∠BCM = 180° - ∠BMC - ∠MBC = 180° - 90° - 30° = 60°.$$

Таким образом, углы в треугольнике MBC равны:

• ∠MBC = 30°,

• ∠BCM = 60°.