№1 Стороны треугольника равны 6 см, 25 см, 29 см. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей и высоту к меньшей стороне треугольника. №2 Боковая сторона равнобедренной трапеции 5 см, радиус вписанной в нее окружности 2 см. Найти основания трапеции. №3 Сторона ромба 25 см, меньшая диагональ 14 см. Найти радиус окружности, вписанной в ромб. №4 Катеты прямоугольного треугольника относятся как 5:12. R - r = 18. Найти R и r. №5 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8, а радиус окружности, вписанной в него, 3. Найти площадь треугольника.

№1

Для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника, когда известны его стороны, нужно использовать следующие формулы.

Пусть $a = 6 \, \text{см}$, $b = 25 \, \text{см}$, $c = 29 \, \text{см}$.

Радиус описанной окружности $R$

Радиус описанной окружности можно найти по формуле:

где $a$, $b$, и $c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

Для начала найдем площадь треугольника с помощью формулы Герона. Полупериметр $p$ треугольника:

Площадь $S$ треугольника вычисляется по формуле Герона:

Теперь вычислим $R$:

Радиус вписанной окружности $r$

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

Высота к меньшей стороне

Для нахождения высоты $h$ к меньшей стороне (к стороне $a = 6 \, \text{см}$) используем формулу площади:

Подставляем известные значения:

Итак, радиус описанной окружности $R = 18,125 \, \text{см}$, радиус вписанной окружности $r = 2 \, \text{см}$, высота к меньшей стороне $h = 20 \, \text{см}$.

№2

Даны параметры равнобедренной трапеции: боковая сторона $b = 5 \, \text{см}$ и радиус вписанной окружности $r = 2 \, \text{см}$.

Для нахождения оснований трапеции, можно использовать формулы для трапеции с вписанной окружностью.

Обозначим основания трапеции как $a$ и $c$, где $a$ — меньшее основание, а $c$ — большее.

Для равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, существует связь между радиусом $r$, боковой стороной $b$ и основаниями $a$ и $c$:

Подставляем известные значения:

Умножаем обе части на 2:

Теперь возводим в квадрат:

Эта ошибка указывает на то, что в исходных данных имеется проблема, так как выражение для разности оснований не может быть отрицательным. Пожалуйста, перепроверьте условия задачи.

№3

Для ромба, с известной стороной $a = 25 \, \text{см}$