Через точку внутри равнобедренного треугольника проведены две прямые, параллельные основанию и боковой стороне. Докажите, что эти прямые образуют равнобедренный треугольник с углами, равными углам данного треугольника.

Обозначу исходный равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$ (то есть $AC=BC$). Пусть $P$ — точка внутри него. Через $P$ проведены две прямые:

• $l\parallel AB$,

• $m\parallel AC$.

Рассмотрим треугольник, образованный прямыми $l$, $m$ и боковой стороной $BC$ исходного треугольника. Эти три прямые не параллельны попарно (потому что $AB$, $AC$, $BC$ попарно не параллельны), значит они действительно образуют треугольник. Покажем, что он подобен $\triangle ABC$, а потому равнобедренный и с теми же углами.

1. Углы при вершинах нового треугольника:

• Угол между $m$ и $BC$ равен углу между $AC$ и $BC$ (соответствующие углы при параллельных $m\parallel AC$). Это $\angle C$ исходного треугольника.

• Угол между $l$ и $m$ равен углу между $AB$ и $AC$ (соответствующие углы при $l\parallel AB$ и $m\parallel AC$). Это $\angle A$.

• Угол между $l$ и $BC$ равен углу между $AB$ и $BC$ (соответствующие углы при $l\parallel AB$). Это $\angle B$.

Следовательно, три угла треугольника $(l,m,BC)$ равны соответственно $\angle A,\ \angle B,\ \angle C$ треугольника $ABC$. Значит, треугольники подобны по трём углам.

2. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, имеем $\angle A=\angle B$. Тогда и в треугольнике $(l,m,BC)$ соответствующие углы равны: угол при пересечении $l$ с $BC$ равен углу при пересечении $l$ с $m$. Равенство двух углов в треугольнике влечёт равенство противолежащих сторон, то есть этот треугольник тоже равнобедренный.

Итак, прямые $l$ и $m$, вместе со стороной $BC$, образуют треугольник, подобный исходному равнобедренному, поэтому он равнобедренный и имеет углы, равные углам данного треугольника.