Дано точки А(0;1), В(2;5), С(4;1), D(2;-3). Докажите, что АВСD — ромб.

Рассмотрим длины сторон по формуле расстояния между точками.

Все четыре стороны равны: $AB=BC=CD=DA=\sqrt{20}$. Этого уже достаточно, чтобы заключить, что $ABCD$ — ромб (четырёхугольник с равными сторонами).

Дополнительно видно, что диагонали перпендикулярны и пересекаются в серединах друг друга:

• $AC$: точки $A(0,1)$ и $C(4,1)$ — горизонтальный отрезок длиной $4$;

• $BD$: точки $B(2,5)$ и $D(2,-3)$ — вертикальный отрезок длиной $8$;

• точка пересечения обеих диагоналей — $(2,1)$, она является серединой и $AC$, и $BD$.

Пересечение диагоналей под прямым углом и их взаимное биссектирование также характерно для ромба. Следовательно, $ABCD$ — ромб.