Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон АВ, BC и АС в точках K, L, M соответственно. Найти KL, если АМ=2, МС=3 и угол С=π/3. Как решить эту задачу?

Решение.

Пусть окружность с центром $I$ касается сторон $AB,BC,AC$ в точках $K,L,M$ соответственно. По свойству касательных из одной точки:

Тогда

Дан $\angle C=\frac{\pi}{3}$. Применим закон косинусов в $\triangle ABC$ при вершине $C$:

Подставляя $BC=3+z,\ AC=5,\ AB=2+z,\ \cos C=\tfrac12$, получаем

Полупериметр

Площадь через две стороны и угол:

Тогда радиус вписанной окружности

Теперь перейдём к отрезку $KL$. Угловой радиус к точке касания перпендикулярен стороне, поэтому $\angle KIL=180^\circ-\angle B$, и хорда