Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его меньшего острого угла.

Давай разберём эту задачу шаг за шагом, как это делал бы пользователь на сайте с вопросами и ответами.

Дано: прямоугольный треугольник с катетами:

• $a = 18$ см (короткий катет)

• $b = 24$ см (длинный катет)

Нужно найти биссектрису, проведённую из вершины меньшего острого угла.

1. Определяем прямоугольный треугольник

Пусть прямой угол в точке $C$, тогда катеты:

• $AC = 18$ см

• $BC = 24$ см

Гипотенуза $AB$ найдётся по теореме Пифагора:

2. Определяем меньший острый угол

В прямоугольном треугольнике угол при вершине напротив меньшего катета меньше. Меньший катет — 18 см, значит угол при вершине $B$ (напротив катета 18 см) — меньший острый угол.

3. Формула биссектрисы в треугольнике

Для треугольника со сторонами $a, b, c$ (где $a$ — сторона напротив угла, из которого проводится биссектриса) биссектриса $l$ вычисляется по формуле:

Где $A$ — угол, из которого проводится биссектриса, $b$ и $c$ — стороны, исходящие из этой вершины.

4. Подставляем в нашу задачу

Вершина меньшего угла — $B$.

• Стороны из $B$: $BC = 24$ см, $BA = 30$ см (гипотенуза)

• Угол при $B$: $\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$

Вычислим $\cos \frac{B}{2}$.

4.1 Находим $\cos B$ и $\sin B$

4.2 Формула для половинного угла

5. Вычисляем длину биссектрисы

Сначала вычислим дробь:

Теперь умножаем на $\cos \frac{B}{2}$:

✅ Ответ

Биссектриса, проведённая из вершины меньшего острого угла, равна примерно: