В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены медиана CM и высота CH. Найти отношение AH:AM, если CM:CH = 5:4 и точка H находится между точками A и M.

Обозначим:

Тогда гипотенуза

а поскольку $M$ — середина гипотенузы $AB$, то

Для высоты, проведённой из прямого угла к гипотенузе, справедливо свойство:

Значит,

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

По условию

Следовательно,

Возведём равенство в квадрат:

Отсюда

Раскроем скобки:

Разделим на $y^2$ и обозначим $t=\dfrac{x}{y}$:

Дискриминант:

Тогда

Получаем два значения:

или

По условию точка $H$ находится между точками $A$ и $M$. Поскольку $M$ — середина $AB$, это означает, что

то есть $x$. Поэтому подходит значение

Следовательно, можно принять

Тогда

Искомое отношение: