Трапеция ABCD вписана в окружность так, что основание AD — диаметр окружности. Диагональ трапеции

Ответы на вопрос

Отвечает Талгатов Айдын.

Пусть в трапеции $ABCD$ основания $AD\parallel BC$ , и $AD$ — диаметр описанной окружности.

Расположим окружность радиуса $R$ с центром в начале координат, а диаметр $AD$ — по оси $x$ :

A(-R,0),\quad D(R,0).

Так как $BC\parallel AD$ , то $BC$ — горизонтальная хорда на высоте $k$ :

B(-x,k),\quad C(x,k),

где точки лежат на окружности, значит

x^2+k^2=R^2. \tag{1}

(Замечание: вписанная трапеция обязательно равнобокая, поэтому $B$ и $C$ симметричны относительно оси $y$ , что и отражено в координатах.)

В равнобокой трапеции диагонали равны, поэтому можно взять $AC=16$ .

AC^2=(x-(-R))^2+(k-0)^2=(x+R)^2+k^2=256. \tag{2}

Раскроем (2) и применим (1):

(x+R)^2+k^2=x^2+2Rx+R^2+k^2=(x^2+k^2)+2Rx+R^2=R^2+2Rx+R^2=2R^2+2Rx.

Значит

2R^2+2Rx=256\quad\Rightarrow\quad R^2+Rx=128

или

R(R+x)=128. \tag{3}

Площадь трапеции:

S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h.

Здесь $AD=2R$ , $BC=2x$ , высота $h=k$ . Тогда

S=\frac{2R+2x}{2}\cdot k=(R+x)k.

По условию $S=64$ , значит

(R+x)k=64. \tag{4}

Сравниваем (3) и (4). Из (3) имеем $R+x=\dfrac{128}{R}$ . Подставляем в (4):

\frac{128}{R}\,k=64 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{R}{2}. \tag{5}

Теперь из (1):

x^2+\left(\frac{R}{2}\right)^2=R^2 \quad\Rightarrow\quad x^2=\frac{3R^2}{4} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\sqrt3}{2}R. \tag{6}

Найдём угол при $A$ : это угол между основанием $AD$ (горизонталь) и боковой стороной $AB$ .

Вектор

\overrightarrow{AB}=B-A=\bigl(-x-(-R),\,k-0\bigr)=(R-x,\,k).

Трапеция ABCD вписана в окружность так, что основание AD — диаметр окружности. Диагональ трапеции равна 16 см, а её площадь — 64 см². Найдите все углы трапеции.