В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника. Одна сторона этого прямоугольника вдвое меньше другой. Диагональ квадрата равна 36. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Диагональ квадрата равна $36$. Тогда его сторона

Пусть у вписанного прямоугольника стороны $a$ (меньшая) и $b$ (большая), причём $b=2a$.

Расположим квадрат так, чтобы его стороны были горизонтальны и вертикальны, а центр квадрата был в начале координат. Если в каждой стороне квадрата лежит ровно одна вершина прямоугольника, то по симметрии такой прямоугольник тоже “центрирован” относительно квадрата: его центр совпадает с центром квадрата (иначе вершины не смогли бы попасть по одной на каждую сторону попарно симметрично).

Обозначим половины сторон прямоугольника:

Пусть прямоугольник повернут относительно осей на угол $\theta$. Тогда максимальная по модулю $x$-координата его вершин (то есть расстояние от центра до правой стороны квадрата) равна

а максимальная по модулю $y$-координата (до верхней стороны квадрата) равна

Но у квадрата расстояние от центра до любой стороны одинаково и равно $\frac s2$. Значит, должно выполняться одновременно:

Вычтем одно из другого:

Так как прямоугольник не квадрат, $p\neq q$. Следовательно,

Подставим $\theta=45^\circ$ в любое из равенств. Так как $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt2}$, получаем:

Отсюда

Значит,

Но $b=2a$, поэтому

Подставляем $s=18\sqrt2$: