высота конуса равна 4корней из трех см, а угол при вершине осевого сечения равен 120 градусов,найти площадь основания

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующим конуса, а основание равно диаметру основания конуса $2r$. Высота этого треугольника, опущенная из вершины на основание, как раз равна высоте конуса $h$.

Дано:

1. Разделим осевое сечение пополам

Проведём в осевом сечении высоту из вершины к основанию. В равнобедренном треугольнике эта высота одновременно является биссектрисой, поэтому угол $120^\circ$ делится пополам:

При этом получаем прямоугольный треугольник, где:

• один катет — высота конуса $h$,

• второй катет — радиус основания $r$ (половина диаметра),

• угол при вершине между высотой (осью) и образующей равен $60^\circ$.

2. Найдём радиус $r$

В полученном прямоугольном треугольнике:

Так как $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$, то

Подставим $h = 4\sqrt{3}$:

3. Найдём площадь основания

Основание конуса — круг радиуса $r$, значит:

Ответ: $\boxed{144\pi\ \text{см}^2}$.