Периметр ромба ABCD равен 12 см. Медианы BB¹ и DD¹ треугольника ABD пересекаются в точке O. Известно, что угол B¹BD=40°. Вычислите длину отрезка BB¹.

Периметр ромба $ABCD$ равен $12$ см, значит его сторона

Рассмотрим треугольник $ABD$. В нём $AB=AD=3$, то есть треугольник равнобедренный с вершиной при $A$.

Точка $B^{1}$ — середина стороны $AD$, потому что $BB^{1}$ — медиана треугольника $ABD$. Следовательно,

Дано $\angle B^{1}BD=40^\circ$. Это угол между лучами $BB^{1}$ и $BD$ в треугольнике $ABD$.

Удобная координатная модель

Положим:

• $A(0,0)$,

• $D(3,0)$,

• $B(3\cos\alpha,\,3\sin\alpha)$, где $\alpha=\angle DAB$.

Тогда середина $AD$ имеет координаты

Векторы из точки $B$:

Угол между ними равен $40^\circ$, значит

Переход к половинному углу

Обозначим $t=\frac{\alpha}{2}$, тогда удобно использовать:

Положим $p=\sin t$, $q=\cos t$. Тогда:

• $\lVert BD\rVert = 6p$;

• $\overrightarrow{BB^{1}}\cdot\overrightarrow{BD}=27p^2$;

• $\lVert BB^{1}\rVert^2=18p^2+\frac{9}{4}$, значит

Подставляем в формулу косинуса: