Продолжение боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке F, AB:BF=3:7, AD — большая основа трапеции. Разница оснований трапеции равна 6. Найдите AD.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, где $AD$ — большая основа, значит основания параллельны:

а боковые стороны — $AB$ и $CD$.

По условию продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $F$. Это означает:

• точки $A,B,F$ лежат на одной прямой (то есть $B$ находится на стороне $FA$),

• точки $D,C,F$ лежат на одной прямой (то есть $C$ находится на стороне $FD$),

• при этом отрезок $BC$ внутри треугольника $FAD$ параллелен $AD$.

1) Используем параллельность и подобие

В треугольнике $FAD$ проведён отрезок $BC$, причём

Значит, треугольники $FBC$ и $FAD$ подобны:

Отсюда следует важное отношение коэффициента подобия:

2) Находим $\frac{FB}{FA}$ из заданного отношения

Дано:

Точки идут в порядке $A - B - F$, значит

Пусть $AB=3x$, $BF=7x$. Тогда

Следовательно,

3) Переходим к основаниям трапеции

Из подобия:

Значит,

По условию разность оснований равна 6:

Подставим $BC$:

Ответ: