1. К и Р — середины сторон АВ и ВС треугольника АВС, АС = 8 см, СР = 6 см, АВ = 14 см. Найдите периметр. 2. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = АС = 13 см, ВС = 10 см. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до вершины А.

Задача 1:

Для нахождения периметра треугольника необходимо найти длины всех его сторон.

Итак, у нас есть треугольник $ABC$, в котором:

• $A$ и $B$ — вершины треугольника,

• $C$ — вершина треугольника,

• $К$ и $Р$ — середины сторон $AB$ и $BC$, соответственно,

• $AC = 8 \, \text{см}$,

• $CR = 6 \, \text{см}$,

• $AB = 14 \, \text{см}$.

Так как $К$ и $Р$ — середины сторон, линия $KR$ является медианой треугольника. Отрезок медианы соединяет середины двух сторон треугольника. Также известно, что длина медианы, соединяющей середины двух сторон, в два раза меньше длины третьей стороны.

1. Сначала находим длину отрезка $KR$, который является половиной стороны $AC$, так как медиана пересекает сторону на два равных отрезка.
   $KR = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \, \text{см}$.

2. Для нахождения периметра треугольника $ABC$, нужно сложить длины всех его сторон:

   $$P = AB + BC + CA = 14 + 2 \times CR + 8 = 14 + 2 \times 6 + 8 = 14 + 12 + 8 = 34 \, \text{см}.$$

Таким образом, периметр треугольника $ABC$ равен 34 см.

Задача 2:

В равнобедренном треугольнике $ABC$, где:

• $AB = AC = 13 \, \text{см}$,

• $BC = 10 \, \text{см}$,
  необходимо найти расстояние от точки пересечения медиан (центра масс) до вершины $A$.

В равнобедренном треугольнике медианы, проведённые из вершин, будут пересекаться в одной точке, которая является центром масс треугольника. Известно, что центр масс (точка пересечения медиан) делит каждую медиану в соотношении 2:1, то есть расстояние от центра масс до вершины треугольника составляет 2/3 длины медианы.

1. Сначала находим длину медианы $AM$, проведённой из вершины $A$ на середину основания $BC$. Для этого используем формулу медианы для треугольника:

   $$m = \sqrt{\frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}}.$$

   Подставляем значения:

   $$m = \sqrt{\frac{2(13^2) + 2(13^2) - 10^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(169) + 2(169) - 100}{4}} = \sqrt{\frac{338 + 338 - 100}{4}} = \sqrt{\frac{576}{4}} = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}.$$

2. Теперь находим расстояние от центра масс до вершины $A$, которое составляет $\frac{2}{3}$ длины медианы:

   $$\text{Расстояние} = \frac{2}{3} \times 12 = 8 \, \text{см}.$$

Ответ: расстояние от точки пересечения медиан до вершины $A$ равно 8 см.