из точки окружности проведены диаметр и хорда. длина хорды 30 см а ее проекция на диаметр меньше

Ответы на вопрос

Отвечает Алексеева Юля.

Обозначим радиус окружности через $R$ . Из точки $A$ на окружности проведены диаметр $AB$ и хорда $AC$ . Дано:

$|AC| = 30$ см
проекция хорды $AC$ на диаметр $AB$ меньше радиуса на 7 см, то есть равна $R - 7$ см.

Расположим окружность так:

центр $O$ в начале координат,
диаметр $AB$ лежит на оси $x$ ,
точка $A$ — правая крайняя точка окружности:
$A(R,0)$
точка $B$ — противоположная точка диаметра:
$B(-R,0)$
точка $C$ на окружности под углом $\theta$ к оси $x$ :
$C(R\cos\theta,\; R\sin\theta)$

Тогда вектор хорды:

\overrightarrow{AC} = (R\cos\theta - R,\; R\sin\theta)

|AC|^2 = (R(\cos\theta-1))^2 + (R\sin\theta)^2

= R^2\big((\cos\theta-1)^2+\sin^2\theta\big)

Раскрываем:

(\cos\theta-1)^2+\sin^2\theta = \cos^2\theta -2\cos\theta +1 +\sin^2\theta

= (\cos^2\theta+\sin^2\theta) -2\cos\theta +1 = 1 -2\cos\theta +1 = 2-2\cos\theta

Значит:

|AC|^2 = R^2(2-2\cos\theta)=2R^2(1-\cos\theta)

А известно тождество:

1-\cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}

Тогда:

|AC|^2 = 2R^2\cdot 2\sin^2\frac{\theta}{2}=4R^2\sin^2\frac{\theta}{2}

|AC| = 2R\sin\frac{\theta}{2}

По условию $|AC|=30$ , значит:

2R\sin\frac{\theta}{2}=30 \quad\Rightarrow\quad R\sin\frac{\theta}{2}=15

\sin\frac{\theta}{2}=\frac{15}{R}

Проекция вектора $\overrightarrow{AC}$ на диаметр (ось $x$ ) равна модулю его $x$ -компоненты:

|\Delta x| = |R\cos\theta - R| = R(1-\cos\theta)

(так как $\cos\theta\le 1$ , величина $1-\cos\theta\ge 0$ ).

По условию эта проекция равна $R-7$ :

R(1-\cos\theta)=R-7

из точки окружности проведены диаметр и хорда. длина хорды 30 см а ее проекция на диаметр меньше радиуса окружности на 7 см. найдите радиус окружности