Из вершины A параллелограмма ABCD проведена биссектриса, которая пересекает сторону BC в точке K. Если BK = KC = 5, AK = 8, найдите площадь параллелограмма.

Обозначим стороны параллелограмма:
$\overrightarrow{AB}=\vec u$, $\overrightarrow{AD}=\vec v$. Тогда $BC\parallel AD$, значит $|\vec v|=BC$.

По условию $BK=KC=5$, значит

а точка $K$ — середина $BC$. В векторной форме:

поэтому середина $BC$:

Следовательно,

Теперь используем факт, что $AK$ — биссектриса угла $\angle DAB$. Направление биссектрисы из $A$ задаётся суммой единичных векторов вдоль сторон:

А раз $K$ лежит на биссектрисе, то вектор $\overrightarrow{AK}$ коллинеарен этой сумме:

для некоторого $t>0$.

Так как $\vec u$ и $\vec v$ — неколлинеарны (это стороны параллелограмма), то равенство возможно только при совпадении коэффициентов при $\vec u$ и при $\vec v$: