Три последовательные стороны описанного около окружности четырехугольника относятся как 2:5:7. Периметр четырехугольника равен 54 см. Найдите его стороны.

Пусть стороны четырехугольника будут $a$, $b$, $c$ и $d$, где $a$, $b$, $c$ — это три последовательные стороны, которые относятся как 2:5:7, а $d$ — четвертая сторона. Также известно, что периметр четырехугольника равен 54 см.

1. Обозначим стороны через переменные, соответствующие их отношениям:

   $$a = 2x, \quad b = 5x, \quad c = 7x$$

   Здесь $x$ — неизвестная переменная, которая определяет масштаб этих сторон.

2. Периметр четырехугольника — это сумма всех его сторон:

   $$a + b + c + d = 54$$

   Подставим выражения для $a$, $b$, и $c$:

   $$2x + 5x + 7x + d = 54$$

   Упростим:

   $$14x + d = 54$$

3. Чтобы найти $d$, выражаем его через $x$:

   $$d = 54 - 14x$$

4. Чтобы найти значение $x$, предположим, что стороны $a$, $b$, $c$ и $d$ положительные числа. Для этого значение $d$ должно быть положительным, а значит, $54 - 14x > 0$. Это дает неравенство:

   $$14x < 54$$

   Разделим обе части неравенства на 14:

   $$x < \frac{54}{14} \approx 3.857$$

5. Теперь попробуем подставить несколько значений для $x$ и проверить, при каком из них $d$ остается целым числом.

   • Если $x = 3$, то:

     $$a = 2 \times 3 = 6, \quad b = 5 \times 3 = 15, \quad c = 7 \times 3 = 21$$

     Подставим в уравнение для периметра:

     $$6 + 15 + 21 + d = 54$$

     Получаем:

     $$42 + d = 54 \quad \Rightarrow \quad d = 54 - 42 = 12$$

     Таким образом, все стороны $a = 6$, $b = 15$, $c = 21$, и $d = 12$ удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: стороны четырехугольника равны 6 см, 15 см, 21 см и 12 см.