Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 12 см. Вычислите: а) длину образующей цилиндра; б) площадь основания цилиндра.

Для решения задачи начнем с того, что осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольный прямоугольный треугольник, у которого одна из сторон — это радиус основания цилиндра, а другая — длина образующей цилиндра. Если осевое сечение — квадрат, то его диагональ будет являться длиной образующей цилиндра.

а) Длина образующей цилиндра

Если осевое сечение цилиндра — квадрат, то диагональ этого квадрата является длиной образующей цилиндра. Важно помнить, что диагональ квадрата связана с его стороной через формулу:

где $d$ — диагональ квадрата, $a$ — сторона квадрата.

Из условия задачи известно, что диагональ квадрата $d = 12 \, \text{см}$. Подставим это значение в формулу:

Решим это уравнение относительно $a$:

Таким образом, длина стороны квадрата (или радиус основания цилиндра) составляет $8.49 \, \text{см}$.

Теперь, так как квадратное сечение — это перпендикулярная проекция на боковую поверхность цилиндра, то длина образующей цилиндра равна длине диагонали квадрата. То есть, длина образующей цилиндра также составляет $12 \, \text{см}$.

б) Площадь основания цилиндра

Основание цилиндра является кругом, радиус которого равен стороне квадрата, то есть $r = 8.49 \, \text{см}$.

Площадь основания цилиндра можно вычислить по формуле площади круга:

Подставляем значение радиуса:

Таким образом, площадь основания цилиндра составляет примерно $226.2 \, \text{см}^2$.

Ответ:

а) Длина образующей цилиндра составляет 12 см.
б) Площадь основания цилиндра равна 226.2 см².