В шар вписан конус с высотой, равной диаметру основания. Найдите площадь поверхности шара, если

Ответы на вопрос

Отвечает Подолей Каріна.

Пусть у конуса радиус основания равен $r$ , высота $h$ . По условию

h = 2r.

Площадь основания конуса:

S_{\text{осн}}=\pi r^2=2.4 \quad\Rightarrow\quad \pi r^2 = 2.4.

Конус вписан в шар, значит шар проходит через вершину конуса и через всю окружность основания. Рассмотрим осевое сечение конуса плоскостью, проходящей через ось: получим равнобедренный треугольник, у которого:

основание равно диаметру основания конуса: $BC=2r$ ,
высота равна высоте конуса: $h$ ,
боковые стороны — образующие конуса: $l=\sqrt{r^2+h^2}$ .

Шар, описанный вокруг конуса, в этом сечении превращается в окружность, описанную вокруг треугольника $ABC$ . Радиус этой окружности равен радиусу шара $R$ .

Найдём $R$ как радиус описанной окружности треугольника:

R=\frac{abc}{4\Delta},

где $a=BC=2r$ , $b=c=l$ , а площадь треугольника

\Delta=\frac12\cdot BC\cdot h=\frac12\cdot 2r\cdot h=rh.

Тогда

R=\frac{(2r)\cdot l\cdot l}{4\cdot rh}=\frac{2r\cdot l^2}{4rh}=\frac{l^2}{2h}.

Но $l^2=r^2+h^2$ , значит

R=\frac{r^2+h^2}{2h}.

Подставляем $h=2r$ :

R=\frac{r^2+4r^2}{2\cdot 2r}=\frac{5r^2}{4r}=\frac54\,r.

Теперь площадь поверхности шара:

S_{\text{шара}}=4\pi R^2 = 4\pi\left(\frac54 r\right)^2 =4\pi\cdot \frac{25}{16}r^2=\frac{25}{4}\pi r^2.

А $\pi r^2=2.4$ , значит

S_{\text{шара}}=\frac{25}{4}\cdot 2.4 = 25\cdot 0.6 = 15.

Ответ: $15$ .

В шар вписан конус с высотой, равной диаметру основания. Найдите площадь поверхности шара, если площадь основания конуса равна 2.4.

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия