В равнобокой трапеции, длины оснований которой равны 21 и 9, высота равна 8. найти радиус окружности описанного круга

Рассмотрим равнобокую трапецию $ABCD$, где $AB\parallel CD$, $AB=21$ (большее основание), $CD=9$ (меньшее основание), высота $h=8$. Требуется найти радиус $R$ окружности, описанной около трапеции.

1) Удобно расставим трапецию на координатной плоскости

Так как трапеция равнобокая, меньшее основание расположено симметрично относительно середины большего.

Положим большее основание $AB$ на ось $x$, центрируя его относительно нуля:

• $A\left(-\dfrac{21}{2},\,0\right)=(-10.5,\,0)$

• $B\left(\dfrac{21}{2},\,0\right)=(10.5,\,0)$

Меньшее основание $CD=9$ находится на высоте $8$ и тоже центрировано:

• $D\left(-\dfrac{9}{2},\,8\right)=(-4.5,\,8)$

• $C\left(\dfrac{9}{2},\,8\right)=(4.5,\,8)$

2) Где находится центр описанной окружности

Фигура симметрична относительно оси $y$, значит центр описанной окружности лежит на оси $y$. Обозначим центр окружности:

Тогда радиус $R$ равен расстоянию от $O$ до любой вершины, например до $A$ и до $C$. Приравняем квадраты расстояний (так проще):

Так как $OA=OC=R$, имеем:

Посчитаем:

Подставляем:

Сокращаем $y_0^2$:

3) Находим радиус

Теперь: