Основание прямой призмы — ромб со стороной 8 см и острым углом 60°. Высота призмы равна 12 см. Вычислите длины диагоналей призмы и площади диагональных сечений.

Рассмотрим задачу по шагам.

Дано:

• основание прямой призмы — ромб со стороной $a = 8$ см;

• острый угол ромба $60^\circ$;

• высота призмы $h = 12$ см.

Нужно найти:

1. длины диагоналей призмы;

2. площади диагональных сечений.

1. Сначала найдём диагонали ромба

У ромба со стороной $a$ и углом $\alpha$ диагонали можно найти по формулам:

Так как $\alpha = 60^\circ$, то

Значит, диагонали основания равны:

• $8\sqrt{3}$ см,

• $8$ см.

2. Найдём диагонали призмы

Диагональ прямой призмы находится как гипотенуза прямоугольного треугольника, где один катет — диагональ основания, другой катет — высота призмы.

Так как в основании две разные диагонали, то и у призмы будут две разные диагонали.

Первая диагональ призмы

Вторая диагональ призмы

Итак, длины диагоналей призмы:

3. Найдём площади диагональных сечений

Диагональное сечение прямой призмы — это сечение плоскостью, проходящей через диагональ основания и параллельной боковым рёбрам.

У прямой призмы такое сечение представляет собой прямоугольник, у которого:

• одна сторона — диагональ основания;

• другая сторона — высота призмы.

Так как диагоналей основания две, то и диагональных сечения тоже два.

Площадь первого диагонального сечения

Площадь второго диагонального сечения

Ответ

Длины диагоналей призмы:

Площади диагональных сечений: