Основание пирамиды - ромб с диагоналями 30 см и 40 см. Вершины пирамиды удалены от сторон основания

Ответы на вопрос

Отвечает Кадиленко Богдан.

Пусть основание пирамиды — ромб $ABCD$ , а вершина пирамиды — $S$ . Нужно найти высоту пирамиды.

Сказано, что вершина пирамиды удалена от всех сторон основания на 13 см. Это значит, что расстояния от точки $S$ до прямых $AB, BC, CD, DA$ одинаковы и равны 13 см.

Обозначим через $O$ проекцию вершины $S$ на плоскость основания. Тогда высота пирамиды равна $SO = h$ .

Для любой стороны основания расстояние от точки $S$ до этой стороны можно выразить через высоту пирамиды и расстояние от точки $O$ до этой стороны в плоскости основания:

(\text{расстояние от } S \text{ до стороны})^2 = h^2 + (\text{расстояние от } O \text{ до этой стороны})^2

Так как расстояния от $S$ до всех сторон одинаковы, то и расстояния от точки $O$ до всех сторон ромба одинаковы. Значит, точка $O$ — центр вписанной окружности ромба, то есть обычный центр ромба.

Следовательно, расстояние от $O$ до каждой стороны — это радиус вписанной окружности ромба.

Теперь найдём этот радиус.

1. Площадь ромба

По диагоналям:

S_{\text{ромба}}=\frac{d_1 d_2}{2}=\frac{30 \cdot 40}{2}=600

2. Сторона ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, значит половины диагоналей равны 15 и 20. Тогда сторона:

a=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=25

3. Полупериметр

p=2a=50

4. Радиус вписанной окружности

Для любого вписанного четырёхугольника, в частности для ромба:

S = r \cdot p

Отсюда:

r=\frac{S}{p}=\frac{600}{50}=12

Значит, расстояние от точки $O$ до каждой стороны основания равно 12 см.

5. Находим высоту пирамиды

По условию расстояние от вершины $S$ до стороны равно 13 см:

13^2 = h^2 + 12^2

169 = h^2 + 144

h^2=25

h=5

Ответ:

\boxed{5 \text{ см}}

Основание пирамиды - ромб с диагоналями 30 см и 40 см. Вершины пирамиды удалены от сторон основания на 13 см. Найдите высоту пирамиды.